为什么“期望值”计算，是高手的第一公式？

让我们来做一道题：

 

你有一套房子，价值100万。有个大富豪对你说，来，你用房子下注，和我玩儿一个抽奖游戏，一共有五张牌，其中有个黑桃K，假如你抽中黑桃K，你能拿到1000万。

 

你要不要玩儿？

 

聪明如你，当然知道这是一个和期望值有关的计算。‍‍‍

 

看起来很简单，因为期望值为正，赔率相当好。‍‍‍‍‍

 

但是，房子又是输不起的筹码。

 

该怎么办呢？

 

期望值，是投资、德州扑克、AI等决策的基石。

 

假如你想成为决策高手，期望值计算，是你必须掌握的第一公式。

 

 

一

 

先讲个真实的故事：

 

每隔两年，巴菲特都要和一些好友到加州的水晶海滩打高尔夫球。有一年美国政府雇员保险公司的董事长拜恩提议小赌一把，如果有一个人能一杆进洞，他就输给每个人1万美元，如果没有，每人输给他10美元。所有人都同意参加，只有巴菲特拒绝了。

 

请问：为什么巴菲特不玩儿这个游戏？

 

在揭开谜底之前，先和你分享我自己的一个小故事。

 

我住在加拿大的温哥华，有天朋友一家来我们家吃饭，他突然想起来，自己没带驾照。他一会儿还要带女儿去上个补习班，于是就开始犹豫要不要回家取驾照。

 

他家离我家大约10公里，上补习班的地方离我家大约1.5公里。这个时候，我问了一下在场的几个朋友：你们谁在过去几年被警察查过驾照？大家都说没有。

 

我说：保守估计一下，被警察查驾照的概率，应该低于千分之一吧。我再保守点儿，就当被查的概率是百分之一，被抓住会被罚款214加币，所以你回家这一趟的价值，是214*1%=2.14加币。还不如油钱呢。

 

这里稍微补充一下，在加拿大不带驾照，只会被罚款，警察能上网查到你的资料，所以没别的处罚。

朋友一想，对啊，不如我留下来接着打牌吧。

 

我说服朋友的逻辑，就是期望值计算。

 

二

在概率论和统计学中，期望值是指在一个多次重复的试验中，每个可能结果的值乘以其发生的概率，再将这些乘积相加得到的总和。

 

概念有些绕，简单点儿说吧，拿抛硬币的游戏为例，假如游戏规则是每扔一次，正面的话你给我两块钱，反面的我给你一块钱，那么这个游戏对你而言，期望值是多少呢？

 

我们计算一下：

 

a、硬币正面朝上的概率是50%，对应的价值是你亏两块钱，所以是50%*（-2），等于-1；

 

b、反面朝上的概率也是50%，对应的价值是你赚一块钱，所以是50%*1，等于0.5；

 

c、用-1加上0.5，得出的数值，就是期望值，算出来是-0.5元。

 

换个角度说，期望值就是，“你获胜的可能性乘以每次可能赚取的金额”，减去“你失败的可能性乘以每次可能损失的金额”。

 

期望值有啥用呢？上面的简单公式，可以告诉你，假如你一直重复玩儿很多次这个游戏，你平均每把能赚多少钱或是亏多少钱。

 

当我们做决策的时候，期望值可以作为量化的依据，来评估一件事情未来的收益。

 

回头看开头的故事。为什么巴菲特不愿意下注？因为那是一个负期望值的游戏，不值得参与。

 

根据统计数据，业余球员一杆进洞的概率是1/12750。拜恩开出的赌局，对巴菲特而言期望值的计算是：（10000/12750-10）=-9.22

 

不出这十块钱，可以理解为巴菲特在概率上的洁癖。任何下注，都需要严格的纪律。要做到这一点，很多时候是反人性的，极其不容易，像所谓童子功一样破不得。

 

三

 

有意思的是，期望值这个概念第一眼看上去特别简单，用小学三年级的数学就能解释。

 

但是，只要稍微复杂一点儿，人就容易晕掉。别说你，就连那些名校毕业的华尔街精英都会犯迷糊。

有次，《黑天鹅》作者塔勒布去参加纽约市的专业交易员的内部研讨会，有人问他怎么看股市，他说：我相信下个星期，市场有很高的概率会略微上涨。

 

对方又问，概率有多高呢？

 

塔勒布说：大概70%。

 

这时，有个人坐不住了，插嘴说：嘿，塔勒布，你之前还在吹牛说你正在大量卖空股市，也就是说赌股市会下跌。你怎么又说上涨的概率高达70%，你这不是自相矛盾吗？

 

那么，塔勒布到底是怎么想的呢？原来啊，他的确认为下个星期市场有70%的概率上涨，30%的概率下跌。但是如果上涨，可能只会涨1%，要是下跌的话，则可能跌10%。

 

这意味着什么？

 

我们来算一下期望值，70%*1%-30%*10%=-2.3%，期望值其实是负的。尽管看起来下周上涨的概率更大，但是，根据期望值，押股市下跌更可能赚钱。

 

说到这儿，我想引出一个特别重要的观点：

 

期望值的大小，比胜率的大小更重要。

 

我们平时经常会听到一句话：我们要坚持做大概率成功的事情。——这句话其实错了！

 

我们坚持要做的，是正期望值的事情。

 

太多人混淆了胜率和期望值。人们偏好于看起来最可能发生的事情，也就是概率更大的事情，但是却忘记了，我们要考虑的，是概率乘以对应的报酬，也就是期望值，这才是我们真正在意的回报。

 

比输赢更重要的，是输多少和赢多少。

 

正因此，索罗斯说过：“对错都不重要，关键是弄错的时候你损失了多少，判断正确的时候又赚了多少。”

 

四

 

有些高胜率的事情，极可能期望值是负的，也不能参与。就像上面说的塔勒布的故事。

 

我们在日常生活中做决策的时候，尤其是涉及到钱，一定要坚持去做正期望值的事情。类似于彩票、赌博、抽奖，其实都是负期望值的事儿，不值得参与，这一点我们后面课程会讲得很详细，这里只举一个小例子。

 

很多地方有一种抽奖游戏，花一块钱就能抽，奖品很大，比如价值1万的高配iPhone。有人可能会说了，一块钱而已，不抽白不抽，以小博大嘛。

 

我们来算算期望值，假如100万人，去抽20部iPhone，你抽中的概率是五万分之一，假如iPhone值一万块，你抽一次对应的“报酬”，是一万块的五万分之一，也就是两毛钱。

 

所以，看起来你付出一块钱很少，但你其实是拿一块钱去买两毛钱的“报酬”，期望值是负的八毛钱，这明摆着吃亏，哪里有什么以小博大呢？

 

如果你不去追求正期望值的事情，总指望中大奖，基本上最可能的结果是：你会穷得很稳定。

 

当然，假如你是商家的话，你可以设计一些类似于彩票的游戏来赚钱。哈佛早年就靠卖彩票盖了两栋大楼，至今仍在使用。

 

五

听到这里，学过一点概率论的同学可能要说，老喻，这我早知道，你能不能讲点儿更烧脑的啊？

让我们来做一道题：

 

你有一套房子，价值100万。有个大富豪对你说，来，你用房子下注，和我玩儿一个抽奖游戏，一共有五张牌，其中有个黑桃K，假如你抽中黑桃K，你能拿到1000万。

 

你要不要玩儿？

 

这是一个对赌游戏，如果你赢了，不仅能拿回房子，还能赚到1000万。

 

算一下期望值是1000万*20%-100万*80%=120万，看起来相当可以，当然应该参与吧？

 

慢。

你到底要不要去赌，还取决于你是否输得起这套房子，以及这个游戏能够重复多少次。因为虽然期望值是正的，但是极有可能，你还没实现期望值，已经把房子输掉了。假如你只有一套房子，你怎么承受得起呢？

 

从脑筋急转弯的角度，你应该拉上四个朋友，你们五个人同时抽，一人抽一张，用500万赌注换回大富豪的1000万，外加抽中的那个人的房子（价值100万），然后大家一起平分净赚的600万，每人能分120万。

 

我举这个例子，是想引出一个跟期望值一定要同时使用的特别重要的概念：

 

遍历性。

 

六

 

遍历性（Ergodicity） 是一个统计物理学和概率论中的核心概念，简单来讲，就是一个系统中所有可能的状态是不是都被实现了一遍。

 

我们再回顾一下“期望值”的定义，期望值是在重复很多次的游戏中，理论上“预计”每次操作平均带来的净收益。重复越多，平均结果越接近于期望值。

 

记住，是重复很多次的之后的平均结果。就像上面大富豪和你玩儿的抽扑克牌游戏，虽然算下来期望值是正的120万，但是并不代表你每次都能赚到120万，大部分情况下，你会输掉自己的房子。

 

你要么一个人重复抽很多次，要么找几个人和你一起，同时把五张牌抽完，才能实现遍历性，从而得到正的期望值。

 

这意味着一个严峻的现实：即使你找到了一件期望值为正的事情，你也可能在实现“期望值”之前破产，就像上面，还没赢到一千万，你已经输掉了自己输不起的那套房子。

 

所以，你必须在游戏里坚持足够长的时间，实现遍历性，这样，从长期的角度你是稳赢的。

 

期望值告诉我们，永远只参与整体期望值为正的游戏。

 

而遍历性揭示了一个重要的现实：即使期望值是正的，也需要足够多的重复和耐心才能实现。

 

如果你无法支撑到那一刻——比如在抽中黑桃K之前失去了房子——期望值再高也无济于事。

 

你看，平时我们喜欢说长期主义，说无限游戏，但是不是要弄懂了背后的数学原理，才算真正懂了？

的确，我们应该把期望值的计算，当作决策的基本原则之一。

 

而在人生当中，我们不仅要努力找寻那些期望值为正的机会，还要想办法重复那些机会，才能让期望值从一个数字变成我们实实在在的回报。

 

最后

 

在这一讲的最后，我想根据今天的内容，送给你一个“期望值决策工具箱”。

 

当你用期望值计算做一个决策的时候，问自己以下三个问题：

 

问题1：我是否被高胜率诱惑而忽略了低收益？

 

问题2：我是否被高收益诱惑而忽略了低胜率？

 

问题3：我是否有足够筹码多次重复下注，支撑到正期望值实现？

 

做好决策，不是一件容易的事情。

 

转自互联网@老喻。